RSS

math


KEKONGRUENAN

 

Jika 5 jam yang akan datang adalah pukul 5, maka pukul berapakah

  1. 17 jam yang akan datang?
  2. 29 jam yang akan datang?
  3. 41 jam yang akan datang?

Jawab:

  1. 17 = 12 × 1 + 5                    sisa 5
  2. 29 = 12 × 2 + 5                    sisa 5
  3. 41 = 12 × 3 + 5                    sisa 5

Jawaban dari poin a, b, dan c semua adalah 5.

Maka dapat dikatakan

17 kongruen dengan 5 (modulo 12) atau dapat ditulis 17 ≡ 5 (mod 12)

29 kongruen dengan 5 (modulo 12) atau dapat ditulis 29 ≡ 5 (mod 12)

41 kongruen dengan 5 (modulo 12) atau dapat ditulis 41 ≡ 5 (mod 12)

 

Definisi :

Jika m suatu bilangan bulat positif, maka a kongruen dengan b modulo m jika dan hanya jika m membagi (a – b) atau dapat ditulis a ≡ b (mod m)

Jika a tidak kongruen dengan b dalam modulus m, maka

ditulis a ≢ b (mod m).

Sebagai contoh

41 ≡ 5 (mod 12)                         sebab 41 – 5 = 36 habis dibagi oleh 12.

51 ≡ 2 (mod 7)                           sebab 51 – 2 = 49 habis dibagi 7

–7 ≡ 15 (mod 11)                      sebab –7 – 15 = –22 habis dibagi 11

12 ≢ 2 (mod 7)                          sebab 12 – 2 = 10 tidak habis dibagi 7

–7 ≢ 15 (mod 3)                        sebab  –7 – 15 = –22 tidak habis dibagi

 

Pada modulo 5

Sifat-sifat :

  1. a ≡ b (mod m) bila dan hanya bila ada bilangan bulat k sehingga a = mk + b

a – b = mk, a ≡ b (mod m)

ini sesuai dengan algoritma pembagian

a = mq + r dengan 0 ≤ r < m

dengan kata lain jika a dibagi oleh m menghasilkan q dan sisa r. Dengan nilai r ada m pilihan yaitu 0, 1, 2, …, (m – 1). r disebut residu terkecil dari a modulo m

 

contoh :

himpunan residu terkesil dari modulo 4 yaitu

himpunan residu terkecil dari modulo 11 yaitu

 

  1. Jika a ≡ b (mod m) maka untuk setiap bilangan p berlaku
    1. a + p ≡ b + p (mod m)
    2. a – p ≡ b – p (mod m)
    3. ap ≡ bp (mod m)
    4. ap ≡ bp (mod m), dengan p bilangan tidak negatif.

 

 

contoh :

Jika 12 ≡ 5 (mod 7) sebab 12 – 5 = 7 habis dibagi 7 maka :

  • 16 = 12 + 4 ≡ 5 + 4 = 9 (mod 7)
  • 9 = 12 – 3 ≡ 5 – 3 = 2 (mod 7)
  • 24 = 12 × 2 ≡ 5 × 2 = 10 (mod 7)

 

  1. jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m) maka
    1. a + c ≡ b + d (mod m)
    2. a – c ≡ b – d (mod m)
    3. ac ≡ bd (mod m)

 

bukti untuk 3a (yang lain silahkan dibuktikan sendiri untuk latihan J )

a ≡ b (mod m)    ⇔ a = b + k1m

c ≡ d (mod m) c = d + k2m +

⇔ (a + c) = (b + d) + (k1 + k2)m

⇔ (a + c) = (b + d) + km ( k = k1 + k2)

⇔ (a + c) = (b + d) (mod m)

contoh :

Jika 10 ≡ 4 (mod 6) dan 17 ≡ 5 (mod 6), maka

27 = 10 + 17 ≡ 4 + 5 = 9 (mod 6)

-7 = 10 – 17 ≡ 4 – 5 = -1 (mod 6)

170 = 10 × 17 ≡ 4 × 5 = 20 (mod 6)

 

  1. Jika ac ≡ bc (mod m) dengan (c, m) = 1 maka a ≡ b (mod m)

Jika a ≡ b (mod m), maka

  1. ak ≡ bk (mod m) dengan k > 0
  2. f(a) ≡ f(b) (mod m), dengan f(x) = a0xn + a1xn – 1 + … + an

 

  1. Jika ac ≡ bc (mod m) dengan (c, m) = d maka a ≡ b (mod )

 

 

*) Untuk pembuktiannya silahkan digunakan sebagai latihan.

 

Latihan

  1. Buktikan bahwa (an + b)m = bm (mod n)
  2. Tentukan sisa dari 742 : 11

 

 

 

3 responses to “math

  1. sri Arbangatin

    24 November 2010 at 21:52

    selamat siang bu….

    untuk materi di blok sudah cukup jelas…untuk pertemuan yang akan datang soal latihannya dibahas.

     
  2. Riastuti

    24 November 2010 at 22:00

    Selamat siang bu….

    Saya masih kurang memahami materi kekongruenan ini…
    Tolong besok dijelaskan lagi ya bu…..
    Trima kasih……..

     
  3. farida ulfah

    26 November 2010 at 05:11

    selamat malam Bu…
    actually..aq blum bgitu paham Bu…jadi tlg bsk dibahas tuntas biar paham ya Bu…
    dan latihan juga jgn ktinggal..(=…
    thx…

     

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s