RSS

PERKONGRUENAN LINEAR

24 Nov

Perkongruenan merupakan kalimat terbuka yang menggunakan relasi kekongruenan

Perkongruenan linear merupakan suatu perkongruenan yang memiliki variabel berpangkat paling tinggi satu.

Misalnya : 3x ≡ 2 (mod 8 ), 2x ≡ 7 (mod 10), dsb.

Untuk 3x ≡ 2 (mod 8 ) supaya menjadi pernyataan yang benar, maka :

3x – 2     = 8k (untuk k suatu bilangan bulat)

3x = 8k + 2

3x = 18                      (untuk k=2)

x = 6

jadi untuk x = 6 memenuhi perkongruenan linear 3x ≡ 2 (mod 8).

untuk selanjutnya ada (),(),  (),  … , (), () yang memenuhi 3x ≡ 2 (mod 8).

Jika bilangan – bilangan

6 + 1.8

6 + 2.8

6 + 3. 8

6 + (-1).8

6 + (-2).8   dst

dinyatakan dalam r + k.m dan misalkan ada s bilangan bulat dengan 0≤ s ≤ m memenuhi ax ≡ b(mod m) maka s disebut penyelesaian dari perkongruenan tersebut.

Untuk 3x ≡ 2 (mod 8 ) ada x = 6 yang memenuhi perkongruenan tersebut, jadi penyelesaian dari 3x ≡ 2 (mod 8 ) adalah 6.

Suatu perkongruenan linear dapat mempunyai satu solusi(seperti contoh di atas), ada yang memiliki lebih dari satu solusi, atau mungkin tidak memiliki solusi sama sekali. Misalnya 3x ≡ 5 (mod 12) tidak memiliki penyelesaian, sebab tidak ada x yang memenuhi 3x – 5 = 12.k atau 12∤(3x – 5), untuk x dan k bilangan bulat.

Untuk selanjutnya periksalah perkongruenan berikut ini, manakah yang memiliki solusi dan mana yang tidak memiliki solusi.

  1. 6x ≡ 3 (mod 8 )
  2. 5x ≡ 3 (mod 7)
  3. 2x ≡ 3 (mod 6)
  4. 2x ≡ 14 (mod 6)
  5. 8x ≡ 12 (mod 14)

Apakah kesimpulan yang diperoleh?

Contoh :

  1. Selesaikanlah 2x ≡ 8 (mod 12)

Jawab :

2x ≡ 8 (mod 12)

x ≡ 4 (mod 6)

4 ≡ 10 ≡ 16 ≡ 22 (mod 6) tetapi 0≤ 4 ≤ 10 ≤ 12. Ini berarti penyelesaian untuk

2x ≡ 8 (mod 12) adalah 4 dan 10.

  1. Tentukan penyelesaian dari 9x + 16 = 35

Jawab :

9x + 16 = 35 dapat ditulis

16 y ≡ 35 (mod 9)

7y ≡ 35 (mod 9),             16 ≡ 7 (mod 9)

y ≡ 5 (mod 9)atau

y = 5 + 9t, dengan  t bilangan bulat.

Untuk  y = 5 + 9t diperoleh      9x + 16(5+9t)   =35

9x + 80 + 144t = 35

9x + 144t             = -45

9x                            = -45 – 144t

x                               = -5 – 16t

sehingga himpunan penyelesaian dari 9x + 16y = 35 adalah

{(x,y)∣ x = -5 – 16t, y = 5 + 9t, dan t bilangan bulat}, jika t = 0, maka x = -5 dan y = 5, sehingga (-5,5) merupakan salah satu penyelesaian dari 9x + 16y = 35.

Latihan

  1. Tentukan banyaknya solusi dan selesaikan perkongruenan linear berikut!
    1. 4x ≡ 5 (mod 7)
    2. 3x ≡ 15 (mod 18 )
    3. 7x ≡ 10 (mod 14)
    4. 2x ≡ 9 (mod 11)
  2. Tentukan nilai x dan y yang memenuhi:
    1. 3x + 9y = 27
    2. 4x + 5y = 68
 
17 Komentar

Ditulis oleh pada 24 November 2010 in number teory

 

17 responses to “PERKONGRUENAN LINEAR

  1. krisna8

    25 November 2010 at 03:50

    kritik, saran dan masukan yang membangun sangat diharapkan… trims..

     
    • ranti prikhatin

      25 November 2010 at 17:50

      Terimakasih, atas materi yang ibu berikan dalam blog ini. karena itu mudah di mengerti.

       
  2. farida ulfah

    26 November 2010 at 05:15

    selamat malam Bu…
    materinya cukup jelas…tapi akan Lebih jelas kalau diterangin secara tuntas dan perbanyak latihan-latihan yang membangun…
    thx..

     
  3. khusni salamah

    26 November 2010 at 06:03

    terima kasih bu materi yang dah di berikan,,,,,,,tapi akan lebih mudah kalau di sampaikan secara langsung..

     
  4. Indah puspita dewi

    26 November 2010 at 06:20

    semoga saya bisa mengikutinya dengan baik

     
  5. tika rahma wati

    27 November 2010 at 00:12

    alhamdulillah bu saya sudah lumayan faham meskipun masih ada yang kurang jelas…

     
  6. chusniatun

    27 November 2010 at 02:50

    Terima kasih atas materi yang ibu berikan. Tapi saya masih bingung bu, maka lebih jelasnya diterangin langsung.

     
  7. agung cahyo putro

    27 November 2010 at 08:43

    tiap saya menerma materi saya selalu pusiiiiiing,,,,,,,

     
  8. Agus sunaryo

    28 November 2010 at 01:47

    Semoga untuk materi-materi selanjutnya bisa ibu upload di web ini. trm kasih byk sblmnya.

     
  9. diah seprina dewi r.

    30 November 2010 at 00:11

    terima kasih materi nya bu,tapi saya belum mengerti.

     
  10. sagitta nurisna putri

    2 Desember 2010 at 06:00

    terimakisah bu materinya . tapi lebih jelas kalau diterangin langsung bu🙂

     
  11. sagitta nurisna putri

    2 Desember 2010 at 06:02

    terimakisah bu materinya . besok dijelaskan lagi pas pertemuan ya bu🙂

     
  12. ardiani pratiwi

    3 Desember 2010 at 20:45

    terimakasih bu,,, ditunggu penjelasan lebih lengkapnya di kelas..

     
  13. ardiani pratiwi

    3 Desember 2010 at 20:47

    terimakasih bu,,,
    penjelasan lebih lengkap ditunggu di kelas

     
  14. Septiani Nurkhasanah

    3 Desember 2010 at 21:00

    terima kasih y Bu……atas materinya

     
  15. hani mustika sari

    5 Desember 2010 at 00:31

    terima kasih wt materi’a bu, tapi saya blum bgitu faham, saya harap pertemua berikut d perjelas lgi, , terima kasih.

     
  16. Eko Purwanti

    15 Desember 2010 at 21:41

    waduh, maaf bu telat ni
    terus terang saya agak kurang dapat menyerap materi teori Bilangan, tapi saya akan berusaha keras,,

     

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

 
%d blogger menyukai ini: