PERKONGRUENAN LINEAR

Perkongruenan merupakan kalimat terbuka yang menggunakan relasi kekongruenan

Perkongruenan linear merupakan suatu perkongruenan yang memiliki variabel berpangkat paling tinggi satu.

Misalnya : 3x ≡ 2 (mod 8 ), 2x ≡ 7 (mod 10), dsb.

Untuk 3x ≡ 2 (mod 8 ) supaya menjadi pernyataan yang benar, maka :

3x – 2     = 8k (untuk k suatu bilangan bulat)

3x = 8k + 2

3x = 18                      (untuk k=2)

x = 6

jadi untuk x = 6 memenuhi perkongruenan linear 3x ≡ 2 (mod 8).

untuk selanjutnya ada (),(),  (),  … , (), () yang memenuhi 3x ≡ 2 (mod 8).

Jika bilangan – bilangan

6 + 1.8

6 + 2.8

6 + 3. 8

6 + (-1).8

6 + (-2).8   dst

dinyatakan dalam r + k.m dan misalkan ada s bilangan bulat dengan 0≤ s ≤ m memenuhi ax ≡ b(mod m) maka s disebut penyelesaian dari perkongruenan tersebut.

Untuk 3x ≡ 2 (mod 8 ) ada x = 6 yang memenuhi perkongruenan tersebut, jadi penyelesaian dari 3x ≡ 2 (mod 8 ) adalah 6.

Suatu perkongruenan linear dapat mempunyai satu solusi(seperti contoh di atas), ada yang memiliki lebih dari satu solusi, atau mungkin tidak memiliki solusi sama sekali. Misalnya 3x ≡ 5 (mod 12) tidak memiliki penyelesaian, sebab tidak ada x yang memenuhi 3x – 5 = 12.k atau 12∤(3x – 5), untuk x dan k bilangan bulat.

Untuk selanjutnya periksalah perkongruenan berikut ini, manakah yang memiliki solusi dan mana yang tidak memiliki solusi.

1. 6x ≡ 3 (mod 8 )
2. 5x ≡ 3 (mod 7)
3. 2x ≡ 3 (mod 6)
4. 2x ≡ 14 (mod 6)
5. 8x ≡ 12 (mod 14)

Apakah kesimpulan yang diperoleh?

Contoh :

1. Selesaikanlah 2x ≡ 8 (mod 12)

Jawab :

2x ≡ 8 (mod 12)

x ≡ 4 (mod 6)

4 ≡ 10 ≡ 16 ≡ 22 (mod 6) tetapi 0≤ 4 ≤ 10 ≤ 12. Ini berarti penyelesaian untuk

2x ≡ 8 (mod 12) adalah 4 dan 10.

1. Tentukan penyelesaian dari 9x + 16 = 35

Jawab :

9x + 16 = 35 dapat ditulis

16 y ≡ 35 (mod 9)

7y ≡ 35 (mod 9),             16 ≡ 7 (mod 9)

y ≡ 5 (mod 9)atau

y = 5 + 9t, dengan  t bilangan bulat.

Untuk  y = 5 + 9t diperoleh      9x + 16(5+9t)   =35

9x + 80 + 144t = 35

9x + 144t             = -45

9x                            = -45 – 144t

x                               = -5 – 16t

sehingga himpunan penyelesaian dari 9x + 16y = 35 adalah

{(x,y)∣ x = -5 – 16t, y = 5 + 9t, dan t bilangan bulat}, jika t = 0, maka x = -5 dan y = 5, sehingga (-5,5) merupakan salah satu penyelesaian dari 9x + 16y = 35.

Latihan

1. Tentukan banyaknya solusi dan selesaikan perkongruenan linear berikut!
   1. 4x ≡ 5 (mod 7)
   2. 3x ≡ 15 (mod 18 )
   3. 7x ≡ 10 (mod 14)
   4. 2x ≡ 9 (mod 11)
2. Tentukan nilai x dan y yang memenuhi:
   1. 3x + 9y = 27
   2. 4x + 5y = 68